Théorème (critère de Sylvester) :
Une forme quadratique \(Q\) sur l'espace \(E\) de dimension finie est positive (i.e. \(\forall u\in E_*,Q(u)\gt 0\)) si et seulement si tous les mineurs principaux de la forme bilinéaire polaire \(\sigma\) sont strictement positifs
(Forme quadratique, Mineur, Forme quadratique (Forme polaire))
Critère de Sylvester :
\(Q\) est une forme quadratique sur un espace \(E\)
\(E\) est de dimension finie
tous les mineurs \(\delta_i\) de la forme bilinéaire polaire \(\sigma\) de \(Q\) sont strictement positifs
$$\Huge\iff$$
\(Q\) est positive :$$\forall u\in E_*,\qquad Q(u)\gt 0$$
Remarque :
Les mineurs \(\delta_i\) sont définis pour tout base \(\{e_1,\dots,e_n\}\) de \({\Bbb R}^n=E\), pas forcément orthonormée
Si \(\forall i\in\{1,\dots,n\},\delta_i\ne0\), par le théorème de Gram-Schmidt, il existe une base de Gram-Schmidt \(v_1,\dots,v_n\) dans laquelle la matrice est \(\begin{pmatrix} Q(v_1)\\ &\ddots\\ &&Q(v_n)\end{pmatrix}\)
